DarWin Code Home Page

Модель Власова–Дарвина

 

     В настоящее время одним из наиболее эффективных средств описания неравновесных состояний разреженной плазмы является подход, учитывающий взаимное влияние текущих распределений заряженных частиц и порождаемых ими полей. Математически он представляется совокупностью кинетических уравнений Власова, детально описывающих эволюцию каждой из компонент бесстолкновительной плазмы, и уравнений Максвелла, наиболее полно отражающих динамику внутренних (самосогласованных) электромагнитных полей.

     Как известно, в низкочастотных плазменных системах эффекты излучательной природы в силу малости играют второстепенную роль. Так что численный анализ динамики подобных систем в рамках полного максвелловского описания оказывается излишне детальным и, как следствие, неоправданно дорогостоящим в вычислительном аспекте. Для их модельного представления целесообразно обратиться к редуцированным полевым описаниям. И здесь наиболее интересным представляется приближение Дарвина, которое исключает из рассмотрения свободные электромагнитные волны и, по сути, пренебрегая запаздыванием, описывает мгновенное дальнодействие зарядов в самосогласованной плазменной системе.

 

     Основные уравнения модели

     Динамика каждой компоненты плазмы представляется уравнением Власова для одночастичной функция распределения f :

где q, m – соответственно, заряд и масса частицы сорта s = i, e.

     Плотности заряда и тока в системе определяются как:

и тождественно удовлетворяют уравнению непрерывности:

     Внутренние электромагнитные поля описываются дарвинской системой уравнений:

где нижние индексы p, v – соответственно потенциальная (продольная) и соленоидальная (поперечная) компоненты электрического поля. Данное представление отличается от максвелловского отсутствием поперечной составляющей тока смещения. Остающаяся при этом продольная компонента обеспечивает справедливость закона сохранения заряда в виде:

     Таким образом характерной чертой дарвинского приближения является совмещение незапаздывающего характера и гиперболической формы представления. Последнее имеет практически важное следствие: любая корректная разностная аппроксимация формализма ребует его редакции, исключающей производные по времени из уравнений поля [7, 12, 15].

 

     Основные свойства и область приложения

     Первое свойство вытекает непосредственно из системы уравнений модели и состоит в том, что она учитывает несоответствующие "мгновенным" системам индукционные эффекты, связанные с законом Фарадея.

     Для декларации второго свойства рассмотрим явный вид лагранжевой функции системы N взаимодействующих зарядов:

   
(1)

где v – поперечная часть скорости i-той частицы, а Rij – расстояние между двумя зарядами.

     Анализируя это выражение, отметим, что в случае, соответствующем электростатическому приближению, классический лагранжиан взаимодействия имеет вид

и в разложении точного лагранжиана полной электромагнитной системы в ряд по параметру v/c << 1 может быть определен как нулевое приближение. Тогда (1) естественно считать следующим по отношению к L0 приближением, рассматривая последний член как малую поправку. При этом излучение зарядов, имеющее вид свободного электромагнитного поля, описывается членами не ниже третьего порядка малости в указанном разложении. Поэтому, будучи точным до членов второго порядка, дарвинский лагранжиан не включает излучательных эффектов, оправдывая определение всего формализма – безызлучательный.

     Третье свойство состоит в том, что расщепление полей и токов на продольные и поперечные части делает в рамках магнитоиндукционной (дарвинской) модели естественными дробномерные (не симметричные по r и v) постановки. Очевидным следствием этого в экспериментах по методу макрочастиц является существенное уменьшение количества последних (при сохранении эффективной дебаевской плотности) за счет сокращения размерности конфигурационного пространства, что резко снижает "стоимость" численного расчета.

     Указанные черты модели Власова–Дарвина определяют оптимальную область применения прикладных плазменных кодов на ее основе: нерелятивистские, с умеренной пространственной неоднородностью и относительно низкочастотные явления в разреженной плазме, обусловленные коллективными взаимодействиями и существенным влиянием магнитных полей. Примерами могут служить численные исследования: вистлеров, альфвеновских и магнитозвуковых волн, ионно-циклотронных колебаний, вайбелевской неустойчивости.

 

Практическая реализация

 

     Практическая реализация представляет собой численную интерпретацию по методу макрочастиц приведенной выше интегро-дифференциальной модели Власова–Дарвина с дискретной функцией распределения

где Np – общее число макрочастиц, а форм-фактор отдельной p-ой макрочастицы имеет вид:

     При построении алгоритма используется эллиптическая редакция на основе подхода, предложенного в работе [16], сводящего исходное полевое описание к следующей системе краевых задач в заданной области:

где

s = i, e – сорт частиц, m и q – их масса и заряд соответственно; и r – плотности заряда и тока соответственно, D – дивергенция тензора переноса тока.

     Вычисления полей проводятся с использованием методики, описанной в работе [17] на равномерной (с шагами hx, hy) прямоугольной сетке W(ri, rj), краевые узлы которой совпадают с границей рассматриваемой области ¶W.

     Разностное интегрирование динамических уравнений частиц (являющихся уравнениями характеристик кинетического уравнения Власова с дискретной функцией распределения)

осуществляется по оптимизированной неявной схеме [9, 10] с временным шагом t, выбираемым из физических соображений и условий численной корректности расчета:

     В силу неявности схемы, процедура ее решения имеет вид итерационного процесса, который обладает определенной спецификой: отсутствие перекрестных членов вида v0 x B1 и v1 x B0 позволяет выделить все операции, производимые с величинами текущего временного слоя (имеющими индекс 0) в отдельный блок и вынести его за пределы итерационного цикла. Таким образом, значительная часть вычислений производится уже не на каждой итерации, а лишь один раз для каждого временного шага, что существенно снижает общие вычислительные затраты.

     В настоящее время приведенный безызлучательный алгоритм программно реализован в виде:

          1.5-мерного лагранжева кода DC4DF.

          2.5-мерного эйлерова кода DarWin.

     С системой уравнений 1.5 – мерного лагранжева формализма можно познакомиться в работе [12].

 

     Список литературы

  1. Darwin C.G. Dynamical Motions of Charged Particles, Phil. Mag., v. 39, 1920, p. 537.
  2. Власов А.А. Теория многих частиц. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950, 348 с.
  3. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 618 с.
  4. Kaufman A.N., Rostler P.S. The Darwin model as a tool for electromagnetic plasma simulation. Phys. Fluids, v. 14, 1971, p. 446.
  5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
  6. Doss S., Miller K. Dynamic ADI methods for elliptic equations. SIAM J. Numer. Anal., v. 16, no. 5, 1979, p. 837.
  7. Нильсон К., Льюис Г. Модели укрупненных частиц в безызлучательном пределе. В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980, 395.
  8. Brackbill J.U., Forslund D.W. An Implicit Method for Electro-magnetic Plasma Simulation in Two Dimensions. J. Comput. Phys., v. 46, 1982, p. 271.
  9. Hewett D.W., Langdon A.B. Electromagnetic Direct Implicit Plasma Simulation. J. Comput. Phys., v. 72, 1987, p. 121.
  10. Weitzner H., Lawson W.S. Boundary conditions for the Darwin model. Phys. Fluids, v. 1, 1989, p. 1953.
  11. Бородачёв Л.В. Неявная аппроксимация уравнений движения дарвинской модели плазмы. ЖВММФ, т. 30, №6, 1991, 934.
  12. Бородачёв Л.В. К проблеме математического моделирования безызлучательной плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 34, №4, 1993, 87.
  13. Hewett D.W. Low-frequency electromagnetic (Darwin) applications in plasma simulation. Comput. Physics Communications. v. 84, 1994, p. 243.
  14. Gibbons M.R., Hewett D.W. The Darwin Direct Implicit Particel-in-Cell (DADIPIC) Method for Simulation of Low Frequency Plasma Phenomena. J. Comput. Physics, v. 120, 1995, p. 231.
  15. Бородачёв Л.В. Численная интерпретация полевого описания в дискретной дарвинской модели с неявной схемой расчёта динамики частиц. Мат. моделирование, т. 17, №9, 2005, 53.
  16. Бородачёв Л. В., Мингалёв И.B., Мингалёв О.В. Численное решение дискретной модели Власова–Дарвина на основе оптимальной переформулировки полевых уравнений. Мат. моделирование, т. 18, №11, 2006, 117.
  17. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О., Литвинюк В.В. Численное решение уравнения для соленоидального электрического поля в дарвинской модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №6, 2006, 14.
  18. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Расчёт динамики частиц в безызлучательной модели плазмы. Мат. моделирование, т. 22, №10, 2010, 83.

 

© 2009-2010 by Dmitriy O. Kolomiets
All trademarks and registred names are the property of their respective owners. No part of the material placed on this site may be reproduced without the prior permission of its copyright holder.